공  업  수  학

(기초편)

제 1 장 수학의 기본 개념들 (Fundamental Concepts in Mathematics)

1.	실수 (Real Numbers)

수학의 가장 기본적인 개념은 개체들의 집합, 다시 말하면 우리가 공학적으로 다루고있는 물리량 또는 화학량 등의 수량(Quantity)을 표시하는 숫자의 집합(Set)이다. 다음과 같은 숫자들의 집합이 있음을 여러분들은 잘 알고 있을 것이다.

(1) 자연수 (Natural Numbers) : 1, 2, 3 .... [N]

개수를 세는데 사용하는 수. 양의 정수라고도 한다.

(2) 정수 (Integer) : 0,[eqn: +-]1,[eqn: +-]2, [eqn: +-]3, .... [Z]

어떤 두 수간의 뺄셈에 의미를 갖게 한다.

예) 3-5=2, 4-4=0

(3)  유리수(Rational Numbers) : 2/3, -7/5   [Q]

어떤 두 수간의 나눗셈에 의미를 갖게 한다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않는다.

(4) 무리수(Irrational Numbers) :[eqn: root 2], [eqn: pi]

두 정수의 분수로 표시할 수 없는 수

(5) 실수(Real Numbers)   [R]

유리수이거나 무리수인 수의 집합.

허수(Imaginary Numbers) 또는 복소수(Complex Numbers)와 구별하기 위해 실수라고 부른다. 이것은 음수(Negative Numbers), 양수(Positive Numbers) 그리고 0(Zero)으로 구성된다.

실수는  한 선분 위의 점들로 표시될 수 있다.

a-b가 양수인가 음수인가에 따라 실수 a가 b보다 크거나 작다고 말한다.

어떤 임의의 실수 a와 b에 대하여 항상 a>b(a is greater than b) 거나 a<b(a is less than b) 거나 a=b(a is equal to b)이다.

집합으로 표시한 포함관계 (부분 집합 관계)

N[eqn: subset] Z[eqn: subset] Q [eqn: subset] R

2.대수의 법칙 (Rules of Algebra)

a, b, c가 임의의 실수라면 다음과 같은 대수 법칙이 성립한다.

(1) a+b = b+a          덧셈의 교환법칙 (Commutative law for addition)

(2) a+(b+c) = (a+b)+c  덧셈의 결합법칙 (Associative law for addition)

(3) ab = ba            곱셈의 교환법칙 (Commutative law for multiplication)

(4) a(bc) = a(bc)      곱셈의 결합법칙 (Associative law for multiplication)

(5) a(b+c) = ab + ac   분배법칙 (Distribution law)

지수법칙

[eqn: a sup m ~ CDOT a sup n ~=a sup m+n], [eqn: a sup m ~/ a sup n ~=a sup m-n] ([eqn: a != 0]) ,[eqn: (a sup m ~) sup n ~=a sup mn]

3. 함수(Function)

함수 [eqn: f]는 집합 A에 있는 각 원소 [eqn: x]를 집합 B에 있는 원소 [eqn: y]로 지정해주는 규칙이다. 이것을 우리는 [eqn: y=f(x)]라 표시하고 여기서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]에서 함수의 값이다.

예) [eqn: f(x)=x sup 2 ~-2x ~+2] 면 [eqn: f(2)=2 sup 2 ~ -2(2)~ +2=2]

함수의 그래프는 [eqn: (x,y)]숫자 쌍을 구하여 [eqn: xy] 좌표 평면에 점으로 표시하여 얻는다.

[eqn: y]는 [eqn: x]로부터 결정되므로 [eqn: x]를 독립변수 그리고 [eqn: y]를 종속변수라 부른다.

4. 특별한 형태의 함수들(Special Types of Functions)

(1) 다항식(Polynomials) : [eqn: f(x)=a sub 0 ~x sup n ~+a sub 1 ~x sup n-1 ~+a sub 2 ~x sup n-2 ~ CDOTS ~+a sub n]

[eqn: a sub 0 ~ != 0]일 때 [eqn: n]을 그 다항식의 차수(Degree)라고 한다. 그 다항식 방정식 [eqn: f(x)=0]       는 [eqn: n]개의 근들을 갖는다( 중근을 포함). 예로서 [eqn: x sup 3 ~ -3x sup2 ~ + 3x ~-1~=0]는           [eqn: (x-1) sup 3 ~=0]와 같이 쓸 수 있고 따라서 3개의 근들은 1,1,1이다.

이항정리(binomial theorem)

[eqn: (a+x) sup n ~= a sup n ~ + sub n~ C sub 1 ~ a sup n-1 ~ x ~ + sub n~ C sub 2 ~ a sup n-2 ~ x sup 2 ~ + CDOTS + x sup n]

여기서 이항계수(binomial coefficient)는 조합과 같이

[eqn: ~sub n ~ C sub k = { n!} over {k!(n-k)! }]이고 factorial은 [eqn: n!~ = ~n(n-1)(n-2) CDOTS 1] 이며

[eqn: 0! ~= 1]로 정의된다.

(2) 지수함수(Exponential Functions) : [eqn: f(x)=a sup x]

특별한 경우가 [eqn: a=e=2.7182818 CDOTS]일 때 발생한다.

(3) 로그함수(Logarithmic Functions) : [eqn: f(x)= log sub a~ x]

이 함수는 지수함수의 역함수(Inverse Function) 이다. 다시 말하면 [eqn: a sup x ~= y]이면       [eqn: x=log sub a ~y]이다. 여기서 [eqn: a]를 로그의 밑수(Base)라고 하고 [eqn: a=e]일 때를 특별히 자      연로그(Natural Logarithm)이라고 한다. 기본적인 법칙을 자연로그로 표시하면 다음      과 같다.

[eqn: ln(mn)=ln m + ln n], [eqn: ln m over n = ln m-ln n], [eqn: ln m sup p ~=p ln m]

(4) 삼각함수(Trigonometric Functions) : [eqn: sinx,~cosx,~tanx,~cotx,~secx,~cscx.]

이들  함수간의 관계는 다음과 같다.

(a)   [eqn: sinx~=~cos( { pi} over {2 }-x),~ cosx~=~sin( { pi} over {2 }-x),~ tanx~=~sinx over cosx]

[eqn: cotx~=~cosx over sinx ~= 1 over tanx ,~ scex= 1 over cosx ,~ cscx= 1 over sinx]

(b)  [eqn: sin sup 2 x + cos sup 2 x =1,~~sec sup2 - tan sup2 x=1,~~ csc sup2 x- cot sup2 x =1]

(c) [eqn: sin(-x)=-sin(x),~~ cos(-x)=cos(x),~~ tan(-x)=-tan(x)]

(d) [eqn: sin(x +- y)=sinx~cosx +-cosx ~sinx,~~cos(x +- y)=cosx~cosy -+ sinx~siny]

[eqn: tan(x+-y)={tanx +-tany} over {1-+tanx~tany}]

(e) [eqn: A~cosx+B~sinx= root {A sup2 +B sup 2} sin(x+alpha)] where [eqn: tan alpha =A/B]

삼각함수는 주기적(Periodic)이다.

(5)역 삼각함수(Inverse Trigonometric Functions) :

[eqn: sin sup -1 x,~cos sup -1 x,~tan sup -1 x,~cot sup -1 x,~sec sup -1 x,~csc sup -1 x.]

이들  함수들은 삼각함수의 역함수이다. 예를 들면

[eqn: sinx~=~y] 이면 [eqn: x=sin sup -1 y]

(6)쌍곡선 함수(Hyperbolic Functions) : 이 함수들은 지수함수의 형태로 다음과 같이       정의된다.

(a)   [eqn: sinhx~=~{e sup x ~- e sup -x} over 2 ,~~coshx~=~{e sup x ~+ e sup -x} over 2]

[eqn: tanhx~=~sinhx over coshx ~= {e sup x ~- e sup -x} over {e sup x ~+ e sup -x}]

[eqn: coth x = coshx over sinhx = 1 over tanhx = {e sup x + e sup -x} over {e sup x - e sup -x}]

[eqn: sechx = 1 over coshx = 2 over {e sup x +e sup -x},~~cschx = 1 over sinhx = 2 over {e sup x - e sup -x}]

삼각함수와 유사한 다음과 같은 성질이 있다.

(b)   [eqn: cosh sup 2 x - sinh sup 2 x~=1,~~ sech sup 2 x + tanh sup 2 x~=1,~~coth sup 2 x -csch sup 2 x =1]

(c)   [eqn: sinh(x+-y)=sinhx coshy +- coshx sinhy]

[eqn: cosh(x+-y)=coshx coshy +- sinhx sinhy]

[eqn: tanh(x+-y)={tanhx +- tanhy} over {1+-tanhx ~tanhy }]

역 쌍곡선함수(Inverse Hyperbolic Function)은 로그로 표시될 수 있다.

[eqn: cosh sup -1 x=+-ln(x+root{x sup 2 -1})]

5. 극한 (Limit)

함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건이 만족되면 [eqn: x]가 [eqn: a]로 접근할 때 극한값 [eqn: l]을 갖는다고 하고 줄여서 [eqn: lim from { x ->a } f(x)=l]라고 나타낸다.

<조건>

어떤 주어진수 [eqn: epsilon>0] 에 대하여   [eqn: 0< LEFT | x-a~ RIGHT | <delta] 이기만 하면 [eqn: LEFT | f(x)-l~ RIGHT | <epsilon]이 되는

[eqn: delta>0]를 찾을 수 있다면

여기서 절대값(Absolute value) [eqn: x], [eqn: LEFT | x~ RIGHT |]는 [eqn: x>0]이면 [eqn: x]이고 [eqn: x<0]이면 [eqn: -x] 그리고

[eqn: x=0]이면 [eqn: 0]이다.

예) [eqn: lim from { x ->-1 }(x sup 2 +4x +8)=5,~~ lim from {x->2} {x sup 2 -4} over {x-2}=4 ,~~ lim from{x->0} sinx over x = 1]

극한의 정리(Theorem of limits)

[eqn: lim from{x->a} f sub1 (x)=l sub 1,~~ lim from{x->a} f sub2 (x)=l sub 2] 이면

(a)  [eqn: lim from{x->a} LEFT [ f sub 1 (x) +- f sub 2 (x) RIGHT ] =lim from{x->a} f sub 1 (x) +- lim from{x->a} f sub 2 (x) RIGHT ] =l sub 1 + l sub 2]

(b)  [eqn: lim from{x->a}~ LEFT [ f sub 1 (x) ~ f sub 2 (x) RIGHT ] =LEFT [lim from{x->a} ~f sub 1 (x)RIGHT ] LEFT [lim from{x->a} ~f sub 2 (x) RIGHT ] =l sub 1 l sub 2]

(c)  [eqn: lim from{x->a}~ { f sub 1 (x)} over { f sub 2 (x) } =lim from{x->a} ~{f sub 1 (x)} over {f sub 2 (x)} ={l sub 1} over { l sub 2}]

6.연속(Continuity)

[eqn: lim from { x ~->~a }~ f~(x)=f~(a)]이면 함수[eqn: f(x)]는 [eqn: a]에서 연속이라고 한다.

예)[eqn: f(x)=x sup2 - 4x +8]은 [eqn: x=0]에서 연속

[eqn: f(x)= {x sup2 - 4} over {x-2} ~~~~ x != 2 #]

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=2] 에서 연속이 아니다. [eqn: x=2]를 [eqn: f(x)]의 불 연속점 (Discontinuity)이라고 한다.

[eqn: x sub 1 ~<=x ~<= x sub 2 ~~or ~~x sub 1 ~< x ~<= x sub2]와 같은 구간(Interval)의 각 점에서 연속이면 ‘그 구간에서 연속(Continuous in the interval)' 이라고 한다. [eqn: f sub 1 (x)] 와 [eqn: f sub 2 (x)]가 어떤 구간에서 연속이면 [eqn: f sub 1 (x) +- f sub 2 (x)],  [eqn: f sub 1 (x) f sub 2 (x)] 그리고 [eqn: f sub 2 (x) != 0]일 때 [eqn: {f sub 1 (x)} over {f sub 2 (x)}]도 연속이다.

7. 도함수 (Derivatives)

[eqn: x]에서 [eqn: y=f(x)]의 도함수는  극한이 존재한다는 조건하에서 다음과 같이 정의된다.

[eqn: {f ~prime} (x) = lim from { h ~->~0 } {f(x+h)-f(x)} over h = lim from { TRIANGLE x~ ->0 } {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x} = dy over dx]

여기서

[eqn: h=triangle x, ~ triangle y=f(x+h)-f(x)~=f(x+ triangle x)-f(x)] 이다.

[eqn: y=f(x)]의 미분( Differential)은  [eqn: dy =f ~prime (x) dx]로 정의된다.

고계(Higher Order)의 도함수는  [eqn: y~prime prime = {d sup 2 y} over dx sup 2 = f ~prime prime (x),~ y ~prime prime prime ={d sup 3 y} over dx sup 3 =f ~prime prime prime (x)], 등등

으로 표시할 수 있다.

기하학적으로 어떤 함수 [eqn: f(x)]의 어떤 한 점에서의 도함수는 그 점에서 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기(slope of the tangent line)로 표시된다.

어떤 한 점에서 어떤 함수가 도함수를 갖는다면 그 점에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수도 있다. 도함수를 갖는다는 말은 미분 가능하다는 말이다.

8. 미분 공식 (Differenciation Formulars)

다음에서 [eqn: u,v]는 [eqn: x]의 함수이고 [eqn: a,c,p]는 상수이다. [eqn: u]와 [eqn: v]의 도함수가 존재한다고 가정한다. 즉 [eqn: u]와 [eqn: v]는 미분가능(Differentiable) 하다고 가정한다.

1)[eqn: d over dx (u+-v) = du over dx +- dv over dx]              2)[eqn: d over dx (cu)=c du over dx]

3)[eqn: d over dx (uv) = u dv over dx + v du over dx]              4)[eqn: d over dx ( u over v ) = {v( du over dx ) - u( dv over dx )} over v sup 2]

5)[eqn: d over dx u sup p = pu sup {p-1} du over dx]                  6)[eqn: d over dx ( a sup u ) = a sup u ln a ~du over dx]

7)[eqn: d over dx ( e sup u ) = e sup u du over dx]                    8)[eqn: d over dx ln u = 1 over u du over dx]

9)[eqn: d over dx sinu = cosu du over dx]                10)[eqn: d over dx cosu =- sinu du over dx]

11)[eqn: d over dx tanu = sec sup 2 u du over dx]              12)[eqn: d over dx cotu = -csc sup 2 u du over dx]

13)[eqn: d over dx secu = sec u~ tanu du over dx]         14)[eqn: d over dx cscu = -cscu~ cotu du over dx]

15)[eqn: d over dx sin sup{-1} u = 1 over {root {1-u sup 2}} du over dx]        16)[eqn: d over dx cos sup{-1} u = {-1} over {root {1-u sup 2}} du over dx]

17)[eqn: d over dx tan sup{-1} u = 1 over {1+u sup 2} du over dx]         18)[eqn: d over dx cot sup{-1} u = {-1} over {1+u sup 2} du over dx]

19)[eqn: d over dx sinh u = coshu~ du over dx]           20)[eqn: d over dx cosh u = sinhu~ du over dx]

특별한 경우로 [eqn: u=x]일 때 위의 공식들은 [eqn: du over dx = 1]로 단순화 된다.

9. 적분(Integrals)

[eqn: dy /dx=f(x)]이면 [eqn: y]를 [eqn: f(x)]의 부정적분(Indefinite Integral) 또는 [eqn: f(x)]의 역미분(anti-derivative)이라고 부르고 [eqn: INT f(x)dx]로 표시한다. 상수의 미분은 0(zero)이므로 [eqn: f(x)]의 모든 부정적분은 상수 값만큼만 다르다.

[eqn: x=a]와 [eqn: x=b] 사이에서 [eqn: f(x)]의 정적분은 다음과 같은 극한이 존재하는 한 다음과 같이 정의 된다.

[eqn: INT _{ a}^{ b} f(x) dx= lim from { h ->0 } h LEFT [ f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+ CDOTS + f(a+(n-1)h) RIGHT ]]

기하학적으로 이 정적분을 설명하면, [eqn: f(x)>=0] 일 때 위의 정적분은 [eqn: x]축과 [eqn: x=a] 그리고 [eqn: x=b]로 경계 지워지는 곡선[eqn: y=f(x)] 밑의 면적을 나타낸다.

[eqn: f(x)]가 구간 [eqn: a<=x<=b]에서 연속이면 적분은 존재한다.

정리1-1(Theorem 1-1) [Fundamental Theorem of Calculus]

[eqn: f(x) = d over dx g(x)]라면

[eqn: INT _{ a}^{b } f(x)dx = INT _{ a}^{b } d over dx g(x)dx = g(x) ~ RIGHT | _{a } ^{b }~ =g(b)-g(a)]

예)  [eqn: INT _{ 1}^{ 2} x sup 2 dx = INT _{ 1}^{ 2} d over dx ( x sup 3 over 3 ) dx = x sup 3 over 3 RIGHT | _{ 1}^{ 2} = 2 sup 3 over 3 - 1 sup 3 over 3 = 7 over 3]

10. 적분 공식 (Integration Formulars)

다음에서 [eqn: u,v]는 [eqn: x]의 함수이고 [eqn: a,b,c,p]는 상수이다. 모든 공식에서 적분상수는 일부러 생략하였다.

1)[eqn: INT (u +-v) dx = INT u dx +- INT v dx]    [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx (u+-v) = du over dx +- dv over dx]

2)[eqn: INT (cu) dx = c INT u dx]            [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx (cu)=c du over dx]

3)[eqn: INT u( dv over dx ) dx = uv- INT v( du over dx ) dx]    [eqn: LRARROW]        [eqn: d over dx (uv) = u dv over dx + v du over dx]

or  [eqn: INT u dv = uv- INT v du]          [eqn: LRARROW]        [eqn: d over dx (uv) = u dv over dx + v du over dx]

이것을 부분적분 (Integration by parts)이라 부른다.

4) [eqn: INT F[u(x)]dx = INT F(w) dw over w'] 여기서 [eqn: w=u(x)] 그리고 [eqn: w'=dw/dx]로 하여 [eqn: w]의 함수로 표시하였다. 이것을 치환적분(Integration by substitution) 또는 변환(Transformation)이라고 한다.

5) [eqn: INT u sup p du = u sup p+1 over p+1 , ~ p not=-1]        [eqn: LRARROW]        [eqn: d over dx u sup p = pu sup {p-1} du over dx]

6)[eqn: INT u sup -1 du = INT du over u = ln u]       [eqn: LRARROW]        [eqn: d over dx ln u = 1 over u du over dx]

7)[eqn: INT a sup u du = a sup u over lna , a not=0,1]       [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx ( a sup u ) = a sup u ln a ~du over dx]

8)[eqn: INT e sup u du = e sup u]                  [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx ( e sup u ) = e sup u du over dx]

9)[eqn: INT sin u~ du = -cos u]          [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx cosu =- sinu du over dx]

10)[eqn: INT cos u~ du = sin u]           [eqn: LRARROW]         [eqn: d over dx sinu = cosu du over dx]

11)[eqn: INT tanu ~du = -ln cosu]              12)[eqn: INT cotu ~du = ln sinu]

13)[eqn: INT secu ~du = ln (secu +tanu)]       14)[eqn: INT cscu ~du = ln (cscu- cotu)]

15)[eqn: INT e sup au sin bu ~du = {e sup au (a sin bu -b cos bu)} over { a sup 2 + b sup 2 }]

16)[eqn: INT e sup au cos bu ~du = {e sup au (a sin bu +b cos bu)} over { a sup 2 + b sup 2 }]

17)[eqn: INT du over root { a sup 2 - u sup 2 } = sin sup -1 u over a]       18)[eqn: INT du over { u sup 2 + a sup 2 }= 1 over a tan sup -1 u over a]

19)[eqn: INT du over root { u sup 2 - a sup 2 } = ln ( u + root { u sup 2 - a sup 2 }~ )]  20)[eqn: INT du over root { u sup 2 + a sup 2 } = ln ( u + root { u sup 2 + a sup 2 }~ )]

21)[eqn: INT sinhu~ du = coshu]  22)[eqn: INT coshu~ du = sinhu]

11. Taylor Series (테일러 급수)

[eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]의 Taylor Series는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{ f''(a)(x-a) sup 2 } over 2! + CDOTS + { f sup (n-1) (a)(x-a) sup n-1 } over (n-1)! + R sub n]

여기서

나머지 [eqn: R sub n = { f sup (n) ( x sub 0 ) (x-a) sup n } over n! ,~~ x sub 0] between [eqn: a] and [eqn: x]

그리고 [eqn: f(x)]는 적어도 [eqn: n]계의 도함수를 갖는다고 가정한다.

특히 [eqn: n=1]일 때 평균치의 정리(mean-value theorem)라고 한다.

[eqn: { f(x)-f(a)} over { x-a }= f'( x sub 0 )] 여기서 [eqn: x sub 0]는 [eqn: a]와 [eqn: x]사이의 값 ( [eqn: x sub 0] between [eqn: a] and [eqn: x])이다.

무한급수(Infinite Series)인 Taylor Series는 어떤 구간에서 [eqn: R sub n =0]이면 그 구간에서 수렴(Converge)한다.

몇 가지 중요한 Taylor Series

1)[eqn: e sup x = 1 + x + x sup 2 over 2! + x sup 3 over 3! + x sup 4 over 4! + CDOTS ~~~~~ -inf < x < inf]

2)[eqn: sin x = x - x sup 3 over 3! + x sup 5 over 5! - x sup 7 over 7! + CDOTS ~~~~~ -inf < x < inf]

3)[eqn: cos x = 1 - x sup 2 over 2! + x sup 4 over 4! - x sup 6 over 6! + CDOTS ~~~~~ -inf < x < inf]

4)[eqn: ln( 1+x ) = x - x sup 2 over 2 + x sup 3 over 3 - x sup 4 over 4 + CDOTS ~~~~~ -1 < x < 1]

5)[eqn: tan sup -1 x = x - x sup 3 over 3 + x sup 5 over 5 - x sup 7 over 7 + CDOTS ~~~~~ -1 < x < 1]

12. 다 변수 함수 (Functions of Two or More Variables)

단 변수 함수의 개념을 확장하면 된다. 예로서 [eqn: z=f(x,y)]는 [eqn: (x,y)]숫자 쌍에 대하여 작용하여 [eqn: z]를 생성하는 함수 [eqn: f]를 정의한다.

극한과 연속의 개념도 변수가 하나일 때와 같은 형태로 생각한다.

13. 편도함수 (Partial Deavatives)

[eqn: x]와 [eqn: y] 각각에 대한 [eqn: f(x,y)]의 편도함수는 다음 극한이 존재한다면 다음과 같이 정의 된다.

[eqn: {partial f} over {partial x} = lim from { h ->0 } { f(x+h,y)-f(x,y)} over h], [eqn: {partial f} over {partial y} = lim from { k ->0 } { f(x,y+k)-f(x,y)} over k]

이 편도함수에 대비하여 변수가 하나일 때의 도함수를 상도함수(Ordinary Derivative)라고 한다. 위의 식에서 [eqn: {partial f} over {partial x}]는 [eqn: y]를 일정하게 유지할 때 [eqn: x]에 대한 상도함수이고 [eqn: {partial f} over {partial y}]는  [eqn: x]를 일정하게 유지할 때 [eqn: y]에 대한 상도함수이다. 그러므로 앞에서 배운 미분공식을 그대로 사용할 수 있다.

예) [eqn: f(x,y)=3x sup 2 - 4xy +2 y sup 2] 이면 [eqn: {partial f} over {partial x} = 6x -4y,~~ {partial f} over {partial y} = -4x +4y]

고 계의 도함수는 상도함수와 유사하게 정의된다. 예로서 2계 도함수는

[eqn: {partial } over {partial x} ({partial f} over {partial x})= {partial sup 2 f} over {partial x sup 2 },~ {partial } over {partial x} ({partial f} over {partial y})= {partial sup 2 f} over { partial x partial y },~ {partial } over {partial y} ({partial f} over {partial x})= {partial sup 2 f} over { partial y partial x },~{partial } over {partial y} ({partial f} over {partial y})= {partial sup 2 f} over {partial y sup 2 }]

로 나타낼 수 있고 여기서 두 번째와 세 번째 항은 [eqn: f]가 2계까지 연속으로 편도함수를 갖는다면 같다.

[eqn: f(x,y)]의 미분(Differential)은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: df={partial f } over { partial x} dx + {partial f } over { partial y} dy]

14. 다 변수함수의 Taylor Series

[eqn: x=a], [eqn: y=b] 에서 [eqn: f(x,y)]의 Taylor Series는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: f(x,y)=f(a,b)+f sub x (a,b)(x-a)+ f sub y (a,b)(x-a)]

[eqn: + 1 over 2! [ f sub xx (a,b)(x-a) sup 2 + 2f sub xy (a,b)(x-a)(y-a) + f sub yy (a,b)(y-b) sup 2 ] + CDOTS]

제 2 장 상 미분 방정식(Ordinary Differential Equations)

1.	미분 방정식의 정의 (Definition of Differential Equation)

미분(Differentials)이나 도함수(Derivatives)를 포함하는 방정식(Equation)을 미분방정식(Differential Equation)이라고 한다. 다음은 미분방정식의 몇 가지 예를 나타낸 것이다.

예1) [eqn: (y'') sup 2 + 3 x =2 (y') sup 3] 여기서 [eqn: y'=dy /dx, ~ y''=d sup 2 y /dx sup 2]

예2) [eqn: {d y} over {d x} + y over x = y sup 2]

예3) [eqn: {d sup 2 Q} over {d t sup 2} -S dQ over dt + 2 Q = 4 sin 2t]

예4) [eqn: {d y} over { d x} ={x+y} over {x-y}]  또는 [eqn: (x+y)dx +(y-x)d y=0]

예5) [eqn: {partial sup 2 V} over {partial x sup 2} + {partial sup 2 V} over {partial y sup 2}=0]

예1) - 예4)와 같이 한 개의 독립변수(Independent Variable)만을 가지고 있는 방정식을 상 미분 방정식(Ordinary Differential Equation)이라 하고 예5)와 같이 독립변수를 두 개 이상 가지고 있는 방정식을 편 미분 방정식(Partial Differential Equation)이라고 한다.

2.	미분 방정식의 계수(階數) (Order of Differential Equation)

주어진 미분 방정식에 포함된 도함수의 최고 계의 계수(Order)를 그 미분 방정식의 계수(Order)라고 한다. 위의 예에서 미분방정식의 계수(Order)는 각각 2,1,2,1,2이다.

3.	미분 방정식의 차수(次數) (Degree of Differential Equation)

주어진 미분 방정식이 각 도함수에 관한 다항식을 0으로 놓은 꼴로 표시하였을 때 최고계의 도함수의 차수를 그 미분 방정식의 차수(Degree)라고 한다. 위의 예에서 미분방정식의 차수(Degree)는 각각 2,1,1,1,1이다.

4.	임의의 상수 (Arbitrary Constants)

[eqn: A,B,C, c sub 1 ,c sub 2 ,c sub 3]와 같이 영문 알파베트의 앞부분 문자로 표시되는 임의의 상수는 그 식에 포함된 변수들과는 독립적인 값으로 가정한다. 예로서 [eqn: y=x sup 2 + c sub 1 x + c sub 2]에서 [eqn: c sub 1]과 [eqn: c sub 2]는 임의의 상수이다.

5.	미분 방정식의 해 (Solution of a Differential Equation)

미분 방정식의 해는 미분이 포함되지 않고 주어진 미분방정식을 만족시키는  변수들간의 관계이다. 다시 말하면 주어진 미분방정식을 만족시키는 독립변수와 종속변수간의 관계식을 그 방정식의 해(Solution)이라고 한다.

예1) [eqn: y=x sup 2 + c sub 1 x + c sub 2]는 [eqn: y''=2]의 해이다. 왜냐하면 대입에 의해 [eqn: 2=2]가 되기 때문이다.

예2) [eqn: y=c x sup 2]은 [eqn: x {d y} over { d x} =2y]의 해임을 증명하라.

<증명>   [eqn: y=c x sup 2]를 미분하면 [eqn: d y=2cx dx] 즉,[eqn: {d y} over {d x}=2cx]

두식을 주어진 미분 방정식에 대입하면 [eqn: x CDOT 2cx =2cx sup 2]

예3) [eqn: (x+c) sup 2 + y sup 2 = 1]은 [eqn: y sup 2 + y sup 2 ( y') sup 2 =1]의 해임을 증명하라.

<증명>[eqn: (x+c) sup 2 + y sup 2 = 1]에서

[eqn: y sup 2 = 1- (x+c) sup 2] 그리고 [eqn: y y'=-(x+c)]

두 식을 주어진 미분 방정식에 대입하면 다음과 같은 항등식을 얻는다.

[eqn: 1-(x+c) sup 2 + (x +c) sup 2 =1]

예4) [eqn: y=Ae sup x + B e sup -2x + x sup 2 + x]은 [eqn: {d sup 2 y} over {d x sup 2} + {d y} over {d x} -2y =3-2x sup 2]의 해임을 증명하라.

<증명> [eqn: y=Ae sup x + B e sup -2x + x sup 2 + x]에서

[eqn: {d y} over {d x} = Ae sup x -2Be sup -2x +2x +1] 그리고 [eqn: {d sup 2 y} over {d x sup2}=Ae sup x + 4Be sup -2x} + 2]

세 식을 주어진 미분 방정식에 대입하면 다음과 같은 항등식을 얻는다.

[eqn: Ae sup x + 4 B e sup -2x +2 + A e sup x -2Be sup -2x +2x+1-2Ae sup x -2Be sup -2x -2x sup 2 -2 x=3-2x sup 2]

일반해 (General Solution)

[eqn: n]계의 상 미분 방정식에서 [eqn: n]개의 임의의 상수를 포함한 해(Solution)를 일반해(General Solution)이라고 한다.

예5) [eqn: y=x sup 2 + c sub 1 x + c sub 2]는 두 개의 임의의 상수 [eqn: c sub 1]과 [eqn: c sub 2]를 가지고 있고 미분 방정식 [eqn: y''=2]를 만족하므로  [eqn: y''=2]의 일반해이다.

특수해 (Particular Solution)

일반해(General Solution)의 임의의 상수에 특정 값을 대입하여 얻은 해(Solution)을 특수해(Particular Solution)이라고 한다.

예5) [eqn: y=x sup 2 -3 x + 2]는  [eqn: y''=2]의 특수해이다. 이것은 일반 해 [eqn: y=x sup 2 + c sub 1 x + c sub 2]의 두 개의 임의의 상수 [eqn: c sub 1]과 [eqn: c sub 2]에 [eqn: c sub 1 = -3]그리고 [eqn: c sub 2 = 2]를 대입하여 얻은 해이다.

특이해 (Singular Solution)

일반해(General Solution)의 임의의 상수에 특정 값을 대입하여 얻을 수 없는 해(Solution)을 특이해(Singular Solution)이라고 한다.

예5) [eqn: y=x y' -y' sup 2]의 일반해는 [eqn: y = cx - c sup 2]이다. 다른 해 [eqn: y=x sup 2 /4]은 일반해의 임의의 상수 [eqn: c]에 어떤값을 대입해서도 얻을 수 없다.

예6) [eqn: y=c sub 1 e sup 2x + c sub 2 e sup -x + x]를 일반해로 하는 미분 방정식을 만드시오.

<풀이>  [eqn: y=c sub 1 e sup 2x + c sub 2 e sup -x + x]에서             (1)

[eqn: y'=2c sub 1 e sup 2x - c sub 2 e sup -x +1]               (2)

[eqn: y''=4c sub 1 e sup 2x + c sub2 e sup -x]                  (3)

(1),(2)그리고 (3)의 연립방정식을 풀면된다.

(1),(2)에서 [eqn: c sub 2]를 소거하면

[eqn: y'+y=3c sub 1 e sup 2x +x + 1]                (4)

(2),(3)에서 [eqn: c sub 2]를 소거하면

[eqn: y''+y' =6c sub 1 e sup 2x + 1]                  (5)

(4),(5)에서 [eqn: c sub 1]를 소거하면 다음과 같이 된다.

[eqn: y''-y'-2y = -2x -1]                (6)

[연습문제]

1.다음 각 미분 방정식이 해당하는 해를 가진다는 것을 증명하라.

1) [eqn: y'-x+y=0;~~~y=Ce sup -x +x -1]

2) [eqn: {d y} over {d x} = 2xy over {3y sup 2 -x sup 2} ;~~~x sup 2 y - y sup 3 = c]

3) [eqn: {d sup 2 I} over { d t sup 2} + 2 dI over dt -3I= 2 cos t -4 sin t;~~~I=c sub 1 e sup t + c sub 2 c sup -3t + sin t]

4) [eqn: x sup 3 ({d sup2 v} over {d x sup 2}) sup 2 =2v dv over dx ;~~~v=cx sup 2]

5) [eqn: xy'=x sup 2 + y ~;~~~y= x sup 2 + cx]

6) [eqn: y''+ 9 y = 0~;~~~y= A sin 3x + B cos 3x]

7) [eqn: y'+ y = e sup -x ~;~~~y=(x+c) e sup -x]

8) [eqn: yy'' - y' sup 2 = y sup 2 ln y ~;~~~ lny = c sub 1 e sup x + c sub 2 e sup -x]

9) [eqn: 2y' sup 2 -xy'= 3-y ~;~~~x=2t+c ~,~ y=ct+3]

10) [eqn: y' sup 2 + y sup 2 = 1 ~;~~~y= sin(x+c)]

2.  다음을 해로하는 미분 방정식을 만드시오.

1) [eqn: y=x sup 4 +c]

2) [eqn: y=c x sup 2]

3) [eqn: y=cx + 3c]

4) [eqn: y=c e sup x]

5) [eqn: y=c sub 1 sin 2x + c sub 2 cos 2 x]

6) [eqn: y=a e sup bx]

6.	1계 1차 상 미분 방정식과 그 해 (The first order Differential Equations and their solution)

부정적분에 의해 해를 구할 수 있는 몇 가지 특수한 형태의 1계 1차 미분방정식의 풀이법을 다룬다.

1) 변수 분리형 ( Separation of variables)

미분방정식

[eqn: M(x,y) + N(x,y) {d y} over {d x} =0]

의 양변에 [eqn: dx]를 곱하면

[eqn: M(x,y) d x + N(x,y) {d y} =0]

의 형태로 변형된다.

이러한 형태 중 특별히

[eqn: f sub 1 (x) d x + f sub 2 (y) d y = 0]

로 변형할 수 있으면  그 미분 방정식을 변수 분리형이라고 하고, 위의 식으로 변형하는 것을 변수 분리한다고 한다. 변수 분리된 위의 식을 적분하면

[eqn: INT f sub 1 (x) d x + int f sub 2 (y) d y = c]

가 된다.

예1) [eqn: xydx -(1+x sup2 ) d y = 0]를 풀어보자.

변수를 분리하면

[eqn: x over {1 + x sup 2} d x - {d y} over y =0]

구하는 해는

[eqn: int x over {1 + x sup 2} d x - int {d y} over y =c]

[eqn: 1 over 2 ln(1 + x sup 2 ) - ln y = c]

예2) [eqn: xdx + y d y = 0]를 풀어보자.

변수 분리가 되어 있다

[eqn: int x d x + int y {d y} = c]

구하는 해는

[eqn: 1 over 2 x sup 2 + 1 over 2 y sup 2 = c]

예3) [eqn: dx + d y = 0],    [eqn: y(0)=1]일 때 풀어보자. (특수 해를 구한다.)

변수 분리가 되어 있다

[eqn: int d x + int {d y} = c]

구하는 해는

[eqn: x + y = c]

조건을 대입하면

[eqn: 0+1=c]

[eqn: THEREFORE x+y=1]

예4) [eqn: (x-1)d y+ (y-2) d x = 0] 를 풀어보자.

변수를 분리하면

[eqn: 1 over {y-2} d y + 1 over {x-1} d x = 0]

적분하면

[eqn: int 1 over {y-2} d y + int 1 over {x-1} d x = 0]

구하는 해는

[eqn: ln(y-2) + ln(x-1) = c]

다시 쓰면

[eqn: ln(y-2)(x-1)=c]

다시 쓰면

[eqn: (y-2)(x-1)= e sup c = c]

[연습문제]

다음 미분 방정식을 푸시오. 방정식에 주어진 조건이 있다면 그 특수 해를 구하시오.

1.[eqn: (4x+xy sup 2 ) d x + (y + x sup 2 y) d y=0] , [eqn: y(1)=2]

2. [eqn: {d y } over {d x } + 3 y =8] , [eqn: y(0)=2]

3. [eqn: {d y } over {d x } = secx tanx]

4. [eqn: 2x(1+y sup 2 ) d x -y (1 + 2x sup 2 ) d y =0]

5. [eqn: dS over dt =15-16S]

6. [eqn: (1 +y sup 2 ) d x + ( 1 + x sup 2 ) d y =0]

7. [eqn: {d y} over {d x} -2y=y sup 2] , [eqn: y(0)=3]

8. [eqn: (x-xy sup 2 ) d x + ( y + x sup 2 y ) d y = 0]

9. [eqn: theta dr over {d theta}= -2r] , [eqn: r(- 1 over 3 ) =9]

10. [eqn: 2y d x + x sup 2 d y =-d x]

11. [eqn: L { d i} over dt + Ri=0]  (여기서 [eqn: L]과  [eqn: R]은 상수)

12. [eqn: {d y} over {d x} = 8x sup 3 - 4 x +1] , [eqn: y(1)=3]